形如y'+P - xy=Q - x的微分方程稱為一階線性微分方程，Q - x稱為自由項(xiàng)。

當(dāng)Q - x≡0時，方程為y'+P - xy=0，這時稱方程為一階齊次線性微分方程。 - 因?yàn)閥'是關(guān)于y及其各階導(dǎo)數(shù)的1次的，P - xy是一次項(xiàng)，它們同時又是關(guān)于x及其各階導(dǎo)數(shù)的0次項(xiàng)，所以為齊次。

形如y'+P - xy=Q - x的微分方程稱為一階線性微分方程，Q - x稱為自由項(xiàng)。一階，指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性，指的是方程簡化后的每一項(xiàng)關(guān)于y、y'的指數(shù)為1。

定義

形如（記為式1）的方程稱為一階線性微分方程。其特點(diǎn)是它關(guān)于未知函數(shù)y及其一階導(dǎo)數(shù)是一次方程。這里假設(shè)，是x的連續(xù)函數(shù)。

若，式1變?yōu)椋ㄓ洖槭?）稱為一階齊次線性方程。

如果不恒為0，式1稱為一階非齊次線性方程，式2也稱為對應(yīng)于式1的齊次線性方程。

式2是變量分離方程，它的通解為，這里C是任意常數(shù)。

解法

一階線性微分方程的求解一般采用常數(shù)變易法，通過常數(shù)變易法，可求出一階線性微分方程的通解。

一階齊次線性微分方程

對于一階齊次線性微分方程:

其通解形式為:

其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定

一階非齊次線性微分方程

對于一階非齊次線性微分方程:

其對應(yīng)齊次方程:

解為:

令C=u - x，得:

帶入原方程得:

對u' - x積分得u - x并帶入得其通解形式為:

其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定。

注意到，上式右端第一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次線性方程式（式2）的通解，第二項(xiàng)是非齊次線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。